ESTIMATION OF THE FRACTAL DIMENSION OF A RAINFALL TIME SERIES OVER A ZONE RELEVANT TO THE AGRICULTURE IN HAVANA

Abstract

The fractal index of the time series of historical data of rain in the area of the province La Havana covered by the meteorological station of Güira de Melena in a period of 19 years is calculated using the multiscale aggregates method.

La cantidad de lluvia caída en un período determinado de tiempo es uno de los factores climáticos de mayor variabilidad, con una gran componente aleatoria. En la figura 1 se observa la gran irregularidad de la serie de lluvias decenales en la zona de Güira de Melena entre los años 1975 y 1994. Las mediciones de este periodo en esta estación son muy confiables, por lo que no hay elementos para suponer que exista falta de homogeneidad en la serie debida a errores aleatorios sistemáticos sino solamente la inherente al proceso.

Estas series de tiempo de gráficas notablemente irregulares han sido estudiadas como fractales por varios autores ( ver [1],[2].) .Los índices fractales se pueden usar para comparar la aleatoriedad de varias series, así como para tener una idea de en qué medida el comportamiento de una serie fue normal.

Como se verá al estimar su índice, la fractalidad de nuestra serie es muy significativa.

Para estimar el índice fractal de una serie de tiempo se han empleado los métodos de cruzamientos de nivel (level crossings) y de los momentos absolutos. El método de los agregados multiescala ha sido usado entre otros autores por [1] y [4] .

Sea (Xt) nuestra serie de temperaturas. Se asume la relación potencial para un proceso gaussiano

Sean los incrementos

Donde m_n es la sucesión

La estimación de H se hará en base a la sucesión de variaciones agregadas S_N como se propone en [1].

Se elaboró un programa en Turbo Pascal para calcular estas sumas.

El índice fractal se puede estimar con precisión cuando el valor esperado de (Sn)² cuadrado es una función simple de H,por lo que se toman diferentes valores de n y se estima H como la pendiente de la regresión lineal entre log n y log (Sn)² .

En nuestro ejemplo tenemos , N=861 ( total de décadas), n=10s, con s=5,10,…,25.

A continuación mostramos el resultado del ajuste del modelo de regresión calculado por el sistema estadístico SPSS.

Analysis of Variance

Multiple R .99883 

R Square .99767 DF Sum of Squares Mean Square

Adjusted R Square .99755 Regression 1 .20091 .20091

Standard Error 4.97160E-03 Residual 19 .00047 .00002

F = 8128.51249 Signif F = .0000

 

------------------ Variables in the Equation ------------------

Variable B SE B Beta T Sig T

LOGN .210414 .002334 .998833 90.158 .0000

(Constant) .553507 .011518 48.056 .0000

 El valor estimado de H es igual a 0.21, lo que se corresponde con la gran irregularidad de la serie.

 Figura 1. Acumulado de lluvia por décadas para la estación Güira de Melena en el periodo 1974 - 1994.

 Bibliografía

• [1] Poggi, J. M. ; Viano, M. C. (1998): An estimate of the fractal index using multiscale aggregates. J. of Time Series Analysis, 19(2): 221-233.

• [2] Hall, P. ; Wolff, R.C.l. (1995): On the strength of dependence of a time series generated by a chaotic map. J. Of time series analysis. 16(6): 571-583.

• [3] Roberts, D. C.; Turcotte, D. L. (1998): Fractality and self -organized criticality of wars. Fractals. 6(4): 351-357.

• [4] Kovanis, Vassilios et al. (1998) Fractal dimensions in tunneling processes and effects of environmental fluctuations. Fractals. 6 (3): 158-164.